穆尔-彭罗斯广义逆矩阵

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穆尔-彭罗斯广义逆矩阵(Moore-Penrose generalized inverse matrix)是逆矩阵概念的推广,彭罗斯(R.Penrose)证明了对任一m×n阶矩阵A,都存在惟一的n×m阶矩阵X,它满足:1.AXA=A;2.XAX=X;3.(AX)*=AX;4.(XA)*=XA;则称X为A的穆尔-广义逆矩阵,简称M-P逆,记为A

也满足条件1到4,故M-P逆确为通常逆矩阵的推广。在矛盾线性方程组Ax=b的最小二乘解中,x=A

b是范数最小的的一个解,任意矩阵的广义逆定义,最早是由穆尔(E.H.Moore)于1920年提出来的,根据实际问题的需要,一些学者还研究了其他各种类型的广义逆矩阵

Moore-Penrose generalized inverse matrix

穆尔-彭罗斯广义逆矩阵是一种广义逆矩阵,设A是s×n复矩阵,如果n×s复矩阵G满足:

。显然,A与G互为穆尔-彭罗斯广义逆,任意的s×n复矩阵A有惟一的穆尔-彭罗斯广义逆,记为A

穆尔-彭罗斯广义逆是很多广义逆之一(Ben-Israel和Greville,1974)。也就是说,对当作逆的矩阵H有其它选择,因而对问题Ax= b可得不同的近似解。例如,在阻尼最小二乘方法(或脊式回归)中,矩阵H选为:

,与穆尔-彭罗斯广义逆的解所得的值相比,可能它的沿相应于最小奇异值的奇异矢量分量被阻尼了。可以证明该

这样就代表了在数据拟合和解的大小限制之间的折衷。这种思路也用于非线她提杠性最小二乘法,即大家熟知的利文伯格-马今特法中(Levenberg-Marquardt method ) 。

与一般的逆矩阵不同,即使矩阵是奇异的,穆尔-彭罗斯的广义逆矩阵总是存在的。在构成这种广义逆矩阵时,必须小心照跨匪地处理零奇异值。在式(6)中, 仅当σ

通常矩阵秩定义为最大互不相关的列数,这样一个定义实际上很难应用于一般矩阵。然而若矩阵是三角形的,秩就是非零对角元素的数目。由于正交变换,比如在奇异值分解中的变换,并不影响秩,立即可以发现A的秩与其奇异值分解中S的秩相等,因此矩阵秩实用的定义婆盼达是非零奇异值的数目。由于计算机精度有限,可能很难区别一个小奇异值和零奇异值,因而定义有效秩是大于某预定容限的奇异值数。容限反映了机器和数据的精度。

最后需指出,广义逆的奇异值分解(SVD)方法为我们的问题提供了有效的分析手段。哥鲁布和莱因思奇(Golub,Reinsch,1970)研究出奇异值分解的数值计算。在大多数计算中心,子程序库中一般都有奇异值分解子程序。虽然奇异值分解分析比乔勒基(Cholesky)法解正规方程要化去较多计算机时间, 但这是很值得的。按乘法运算的实际计数,奇异值分解需2mn

/6。 例如,若解300个未知数的1000个方程,奇异值分解分析所需要的计算机时间约比正规方程方法长6倍。

但这里需指出正规方程方法的两大缺点。第一,正规方程矩阵的条件数是原始矩阵条射柜件数的平方剃愚杠寻。这样,在组成正规方程和求解它时,需要把浮点精度t提高一倍才能避免计算中的舍人误差。第二,正规方程方法不能计算信息密度矩阵

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